partiels/partiel_Mathsdis_S2_23 Mars 2009.tex

   1 \documentclass[12pt]{article}
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  20 \title{%\includegraphics{LogoIUT.ps}\\
  21 Partiel de mathématiques discrètes, semestre 2, mars 2009.\\
  22 Durée : 2 heures.}
  23 \date{}
  24 \geometry{hmargin=1.5cm, vmargin= 1.5cm}
  25 \author{J.-F. \sc{Couchot}}
  26 \begin{document}
  27 \maketitle
  28
  29
  30
  31
  32 \section*{Exercices (10 pts)}
  33
  34 \subsection*{Exercice 1 (4 pts)}
  35 Pour chacun des propositions suivantes, dire si c'est une tautologie,
  36 une antilogie ou ni l'une ni l'autre. Justifier.
  37 \begin{enumerate}
  38 \item
  39 $
  40 \big( (\neg P \Rightarrow Q) \land
  41 (\neg P \Rightarrow \neg Q) \big)
  42 \Rightarrow P$
  43 \item
  44 $
  45 P \lor Q \Rightarrow
  46 \big(
  47 P \land( Q \Rightarrow Q)
  48 \big)$
  49 \item
  50 $
  51 \big(
  52 ( \neg Q \land P ) \Rightarrow ( Q \lor P )
  53 \big)
  54 \Rightarrow
  55 \neg ( Q \lor P \lor \neg Q )
  56 $
  57 \end{enumerate}
  58
  59
  60 \subsection*{Exercice 2 (3 pts)}
  61 Soit la base de faits suivante:
  62 \emph{l'avion partira seulement si la piste est dégagée.
  63 La piste ne sera pas dégagée ou la grève sera terminée.
  64 La grève continue si et seulement si
  65  les revendications ne sont pas satisfaites.}
  66 \begin{enumerate}
  67 \item La proposition
  68 \og \emph{l'avion ne partira pas ou les revendications seront satisfaites} \fg{}
  69 est-elle une conséquence logique des propositions qui précèdent. Justifier.
  70 \item La proposition
  71 \og \emph{l'avion ne part que si les revendications sont satisfaites} \fg{}
  72 est-elle une conséquence logique des propositions qui précèdent. Justifier.
  73 \end{enumerate}
  74
  75
  76 \subsection*{Exercice 3 (3 pts)}
  77 Que dire du raisonnement suivant?
  78 \emph{Si Jean n'a pas rencontré Pierre l'autre nuit,
  79 c'est que Pierre est le meurtrier ou que Jean est un menteur.
  80 Si Pierre n'est pas le meurtrier, alors Jean n'a pas rencontré Pierre
  81 l'autre nuit et le crime a eu lieu après minuit.
  82 Si le crime a eu lieu après minuit, alors Pierre est
  83 le meurtrier ou Jean n'est pas un menteur.
  84 Donc Pierre est le meurtrier.}
  85
  86
  87
  88 \section*{QCM (10 pts)}
  89 Vous aurez +1 à chaque valeur de vérité trouvée, -1 à chaque erreur (et 0 en absence de réponse). Les notes seront ajustées à l'intervalle $[0;20]$ (les notes négatives auront 0).
  90
  91 Q. 1. Une formule propositionnelle $F$ est  conséquence logique d'une antilogie.
  92          L'affirmation suivante est-elle vraie:
  93 \og  $F$ est donc une tautologie \fg{}?
  94
  95
  96 Q. 2. Une formule propositionnelle $F$ est conséquence logique d'une tautologie.
  97          L'affirmation suivante est-elle vraie:
  98 \og  On ne peut donc rien dire de $F$ \fg{}?
  99
 100
 101 Q. 3.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
 102         La relation $\{r\} \models p \land q  \Rightarrow r$ est-elle vraie?
 103
 104
 105 Q. 4. \og $A$ à moins que  $B$ \fg{}
 106 peut-elle être représentée par $ \neg A \Rightarrow B$?
 107
 108
 109 Q. 5.
 110 \og \emph{Si la paix survient, alors il y aura une crise économique
 111 à moins que le pays se dote d'armes nouvelles ou bien exécute
 112 un large programme d'investissement intérieur dans les secteurs de
 113 l'enseignement, de la santé et de la lutte contre la pauvreté.
 114 Il n'est pas possible de se mettre d'accord sur les objectifs
 115 que peut se donner un large programme d'investissement intérieur.
 116 Donc si la paix survient et qu'il n'y a pas de crise économique
 117 le pays doit se doter d'armes nouvelles.} \fg{}
 118          Le raisonnement proposé est-il correct?
 119
 120
 121 Q. 6.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
 122         L'énoncé suivant est-il une tautologie?
 123 $(q \Leftrightarrow p) \Rightarrow
 124 (p \Rightarrow q) \land
 125 (q \Rightarrow p)$.
 126
 127
 128 Q. 7. \og $A$ à moins que  $B$ \fg{}
 129 peut-elle être représentée par $ B \Rightarrow A $?
 130
 131
 132 Q. 8. \og Il est faux que sa mère est anglaise ou que son père est français \fg{}
 133 est-elle équivalente à
 134 \og sa mère est anglaise ou son père n'est pas français \fg{}?
 135
 136
 137 Q. 9. \og $B$ est une condition nécessaire pour $A$ \fg{}
 138 peut-elle être représentée par $ B \Rightarrow A$ ?
 139
 140
 141 Q. 10. Soit $p$ et $q$ les variables propositionnelles correspondant respectivement à \og il est grand \fg{} et \og il est beau \fg{}.
 142         Sachant que \og il  est petit \fg{} signifie qu'il n'est pas grand,
 143 \og il est grand ou il est petit et beau \fg{} peut-elle s'écrire
 144 $ p \lor q $?
 145
 146
 147 Q. 11.  Soit $p$ et $q$, deux variables propostionnelles.
 148         L'énoncé suivant est-il une tautologie?
 149 $
 150 (p \land ( p \lor q)) \Leftrightarrow p$.
 151
 152
 153 Q. 12.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
 154         L'énoncé suivant est-il une tautologie?
 155 $(p \lor q) \land r \Leftarrow (p \lor r) \land (q \lor r)$.
 156
 157
 158 Q. 13.  On note $A$ la proposition \og les chiens aboient \fg{} et
 159 $P$ la proposition \og la caravane passe \fg{}. La proposition
 160 \og la caravane passe sauf si le chien aboie \fg{}
 161 peut-elle être représentée par $ A \lor P $?
 162
 163
 164 Q. 14. \og $A$ à moins que  $B$ \fg{}
 165 peut-elle être représentée par $ \neg B \lor A $?
 166
 167
 168 Q. 15.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
 169         L'énoncé suivant est-il une tautologie?
 170 $
 171 (p \Rightarrow q) \lor p \lor r \Rightarrow q \lor r$.
 172
 173
 174 Q. 16. \og $A$ à moins que  $B$ \fg{}
 175 peut-elle être représentée par $ B \lor A $?
 176
 177
 178 Q. 17. Une formule propositionnelle $F$ a pour conséquence logique une antilogie.
 179         On ne peut donc rien dire de $F$. Vrai ou faux?
 180
 181
 182 Q. 18.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
 183         L'ensemble $p \land q $ est-elle une  conséquence logique de $\{p,q\}$?
 184
 185
 186 Q. 19. Une formule propositionnelle $F$ a pour conséquence logique une antilogie.
 187          L'affirmation suivante est-elle vraie:
 188 \og $F$ est donc une antilogie \fg{}?
 189
 190
 191 Q. 20. Une formule propositionnelle $F$ est conséquence logique d'une tautologie.
 192          L'affirmation suivante est-elle vraie:
 193 \og  $F$ est donc une tautologie \fg{}?
 194
 195
 196 Q. 21. \og $A$ à moins que  $B$ \fg{}
 197 peut-elle être représentée par $ B \Rightarrow A $?
 198
 199
 200 Q. 22. \og $B$ seulement si  $A$ \fg{}
 201 peut-elle être représentée par $ \neg A \Rightarrow B $?
 202
 203
 204 Q. 23. \og $B$ seulement si $A$ \fg{}
 205 peut-elle être représentée par $ A \Rightarrow B$ ?
 206
 207
 208 Q. 24. \og $B$ est une condition nécessaire pour $A$ \fg{}
 209 peut-elle être représentée par $ \neg B \Rightarrow \neg A$ ?
 210
 211
 212 Q. 25.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
 213         La relation $\{p \Rightarrow \neg q , q \} \models \neg p$ est-elle vraie ?
 214
 215
 216 Q. 26.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
 217         L'énoncé suivant est-il une tautologie?
 218 $  (p \lor q) \land (p \lor r) \Rightarrow p \lor (q \land r)$.
 219
 220
 221 Q. 27. Une formule propositionnelle $F$ a pour conséquence logique une tautologie.
 222          L'affirmation suivante est-elle vraie:
 223 \og  $F$ est donc une tautologie \fg{}?
 224
 225
 226 Q. 28. Une formule propositionnelle $F$ a pour conséquence logique une tautologie.
 227          L'affirmation suivante est-elle vraie:
 228 \og  $F$ est donc une antilogie \fg{}?
 229
 230
 231 Q. 29.  La négation de \og ce triangle est rectangle donc ce triangle possède un angle droit \fg{}
 232 est-elle  \og ce triangle ne possède pas un angle droit et pourtant il est rectangle\fg{}
 233
 234
 235 Q. 30. Une formule propositionnelle $F$ a pour conséquence logique une antilogie.
 236         L'affirmation suivante est-elle vraie:
 237 \og $F$ est donc une tautologie \fg{}?
 238
 239 \newpage
 240 \section*{Réponses au QCM}
 241
 242 \noindent Nom: ..........................
 243
 244 \noindent Prénom: ..........................
 245
 246
 247 \begin{large}
 248 \begin{center}
 249 \begin{tabular}{|l|c|c||l|c|c||l|c|c|}
 250 \hline
 251 Numéro & V & F & Numéro & V & F & Numéro & V & F \\
 252 \hline
 253 Q. 1 & &  & Q. 2 & &  & Q. 3 & &  \\
 254 \hline
 255 Q. 4 & &  & Q. 5 & &  & Q. 6 & &  \\
 256 \hline
 257 Q. 7 & &  & Q. 8 & &  & Q. 9 & &  \\
 258 \hline
 259 Q. 10 & &  & Q. 11 & &  & Q. 12 & &  \\
 260 \hline
 261 Q. 13 & &  & Q. 14 & &  & Q. 15 & &  \\
 262 \hline
 263 Q. 16 & &  & Q. 17 & &  & Q. 18 & &  \\
 264 \hline
 265 Q. 19 & &  & Q. 20 & &  & Q. 21 & &  \\
 266 \hline
 267 Q. 22 & &  & Q. 23 & &  & Q. 24 & &  \\
 268 \hline
 269 Q. 25 & &  & Q. 26 & &  & Q. 27 & &  \\
 270 \hline
 271 Q. 28 & &  & Q. 29 & &  & Q. 30 & &  \\
 272 \hline
 273 \hline
 274 \end{tabular}
 275 \end{center}
 276 \end{large}
 277
 278 \end{document}